傅里叶变换参考
定义：F(ω) = ∫₋∞^∞ f(t)·e^(-jωt) dt | f(t) = (1/2π)∫₋∞^∞ F(ω)·e^(jωt) dω
常用变换对
| f(t) | F(ω) | 说明 |
|---|---|---|
| δ(t) | 1 | 狄拉克δ函数 |
| 1 | 2π·δ(ω) | 常数 |
| u(t) (单位阶跃) | π·δ(ω) + 1/(jω) | |
| e^(-at)·u(t), a>0 | 1/(a + jω) | 衰减指数 |
| e^(jω₀t) | 2π·δ(ω - ω₀) | 复指数 |
| cos(ω₀t) | π[δ(ω-ω₀) + δ(ω+ω₀)] | |
| sin(ω₀t) | jπ[δ(ω+ω₀) - δ(ω-ω₀)] | |
| rect(t/T) | T·sinc(ωT/2) | 矩形脉冲 |
| sinc(t) = sin(πt)/(πt) | rect(ω/2π) | sinc函数 |
| e^(-a|t|), a>0 | 2a/(a² + ω²) | 双侧指数 |
| e^(-at²) | √(π/a)·e^(-ω²/4a) | 高斯函数 |
| t·e^(-at)·u(t) | 1/(a+jω)² |
性质
| 性质 | 时域 | 频域 |
|---|---|---|
| 线性性 | af(t) + bg(t) | aF(ω) + bG(ω) |
| 时移 | f(t - t₀) | F(ω)·e^(-jωt₀) |
| 频移（调制） | f(t)·e^(jω₀t) | F(ω - ω₀) |
| 时域缩放 | f(at) | (1/|a|)·F(ω/a) |
| 对偶性 | F(t) | 2π·f(-ω) |
| 微分 | f'(t) | jω·F(ω) |
| 积分 | ∫f(τ)dτ | F(ω)/(jω) + πF(0)δ(ω) |
| 卷积 | f(t) * g(t) | F(ω)·G(ω) |
| 相乘 | f(t)·g(t) | (1/2π)F(ω) * G(ω) |
| 帕塞瓦定理 | ∫|f(t)|² dt | (1/2π)∫|F(ω)|² dω |
离散傅里叶变换（DFT）
DFT: X[k] = Σ(n=0 to N-1) x[n]·e^(-j2πkn/N)
IDFT: x[n] = (1/N) Σ(k=0 to N-1) X[k]·e^(j2πkn/N)
主要性质：
- 周期性：X[k] = X[k+N]
- 共轭对称性（实数输入）：X[N-k] = X*[k]
- FFT 以 O(N log N) 计算 DFT，优于 O(N²)