极限参考
重要极限公式
| 极限 | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| lim (x→0) sin(x)/x | 1 | 基本三角极限 |
| lim (x→0) (1-cos(x))/x | 0 | |
| lim (x→0) (1-cos(x))/x² | 1/2 | |
| lim (x→0) tan(x)/x | 1 | |
| lim (x→0) (eˣ-1)/x | 1 | 指数极限 |
| lim (x→0) (aˣ-1)/x | ln(a) | |
| lim (x→0) ln(1+x)/x | 1 | 对数极限 |
| lim (x→∞) (1+1/x)ˣ | e | e的定义 |
| lim (x→0) (1+x)^(1/x) | e | 等价形式 |
| lim (x→∞) xⁿ/eˣ | 0 | 指数函数增长快于多项式 |
| lim (x→∞) ln(x)/xⁿ | 0, n>0 | 多项式增长快于对数 |
| lim (x→0⁺) x·ln(x) | 0 | 0·∞ 不定式 |
关键定理
| 定理 | 内容 |
|---|---|
| 洛必达法则 | 若 lim f(x)/g(x) 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) |
| 夹逼定理 | 若 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g = lim h = L，则 lim f = L |
| 连续性 | 若 lim(x→a) f(x) = f(a)，则 f 在 a 处连续 |
不定式类型
| 形式 | 处理方法 |
|---|---|
| 0/0, ∞/∞ | 洛必达法则 |
| 0·∞ | 改写为 0/0 或 ∞/∞ 形式 |
| ∞ - ∞ | 通分化为分式 |
| 0⁰, ∞⁰, 1^∞ | 取对数后应用洛必达 |