拉普拉斯变换参考
定义：F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^(-st) dt （Re(s) > 收敛横坐标）
常用变换对
| f(t) | F(s) = L{f(t)} | 收敛域 |
|---|---|---|
| 1 | 1/s | Re(s) > 0 |
| t | 1/s² | Re(s) > 0 |
| tⁿ | n!/sⁿ⁺¹ | Re(s) > 0 |
| e^(at) | 1/(s-a) | Re(s) > a |
| t·e^(at) | 1/(s-a)² | Re(s) > a |
| tⁿ·e^(at) | n!/(s-a)ⁿ⁺¹ | Re(s) > a |
| sin(ωt) | ω/(s²+ω²) | Re(s) > 0 |
| cos(ωt) | s/(s²+ω²) | Re(s) > 0 |
| sinh(at) | a/(s²-a²) | Re(s) > |a| |
| cosh(at) | s/(s²-a²) | Re(s) > |a| |
| e^(at)·sin(ωt) | ω/((s-a)²+ω²) | Re(s) > a |
| e^(at)·cos(ωt) | (s-a)/((s-a)²+ω²) | Re(s) > a |
| δ(t) (狄拉克δ) | 1 | 所有s |
| u(t) (单位阶跃) | 1/s | Re(s) > 0 |
| t·sin(ωt) | 2ωs/(s²+ω²)² | Re(s) > 0 |
| t·cos(ωt) | (s²-ω²)/(s²+ω²)² | Re(s) > 0 |
性质
| 性质 | 时域 | s域 |
|---|---|---|
| 线性性 | af(t) + bg(t) | aF(s) + bG(s) |
| 时移 | f(t-a)·u(t-a) | e^(-as)·F(s) |
| 频移（s域平移） | e^(at)·f(t) | F(s-a) |
| 缩放 | f(at) | (1/a)·F(s/a) |
| 一阶导数 | f'(t) | sF(s) - f(0) |
| 二阶导数 | f''(t) | s²F(s) - sf(0) - f'(0) |
| 积分 | ∫₀ᵗ f(τ) dτ | F(s)/s |
| 乘以t | t·f(t) | -F'(s) |
| 卷积 | f(t) * g(t) | F(s)·G(s) |
| 初值定理 | f(0⁺) | lim(s→∞) sF(s) |
| 终值定理 | f(∞) | lim(s→0) sF(s) |